„Stetig“ bedeutet, dass die Funktion nirgends einen „Sprung“ hat, d.h. für alle a aus R gilt: limx -> a- fx = limx -> a fx wobei „limx -> a-“ heisst, dass sich x von unten an a annähert, analog ist mit "limx -> a die Annäherung von oben gemeint. Eine Funktion, deren 1. Ableitung immer >= 0 ist, heisst „monoton steigend“, falls immer > 0 dann „streng monoton steigend“.

Die Funktion f heißt stetig auf dem Bereich D, wenn sie an allen Punkten x ∗ ∈ D stetig ist. Definition 4.3 ist ein M¨oglichkeit, die Stetigkeit an einem Punkt zu definieren.

Verkettungssätze: Wenn die Funktion als Verkettung stetiger Funktionen dargestellt werden kann, ist sie nach den Verkettungssätzen stetig. Ausnutzung der lokalen Natur der Stetigkeit: Wenn eine Funktion in einer kleinen Umgebung um einen Punkt dieselbe Funktionsvorschrift wie die einer stetigen Funktion besitzt, dann muss sie an diesem Punkt auch stetig sein.

Meinst du wirklich f0? Der Wert ist als 0 definiert. Und auch f'0 existiert, den Wert hat Nicole bloss noch nicht ausgerechnet. Die Funktion f ist also auf ganz R differenzierbar, jedoch ist die Ableitung nicht stetig in 0, f ist also nicht stetig differenzierbar.

Finden Sie alle x ∈ ℝ, in denen f differenzierbar ist. b Sei f: ℝ → ℝ, x → x 1/3 − x 2/3. Beweisen Sie, dass f in 0 nicht differenzierbar ist.

bei stetig. Überhaupt sind alle trigonometrischen sowie hyperbolischen Funktionen stetig, ebenso ist die Funktion für stetig. Stetigkeit für weitere Funktionen folgt aus zwei wichtigen Regeln: Ist die stetige Funktion invertierbar, so ist auch ihre Inverse stetig. Sind stetig, so ist auch deren Verkettung stetig.

L¨osung 38: a Wir sehen, dass f−1 = 12 und f2 = −3 erf¨ullt sein muss, also muss das Polynom mindestens von ersten Grad sein, eine Konstante w¨urde die Funktion nicht stetig erg ¨anzen.

Suche dir aus folgender Liste 20 Werte aus, die dir wichtig sind. Schreibe sie untereinander auf. Dabei geht es nicht darum, Werte zu finden, von denen du denkst, dass sie dir gut stehen würden. Sondern Werte, die dich ausmachen und definieren. Werte, bei denen du ein warmes Gefühl im Bauch bekommst.

A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ∯ Eine Funktion ist stetig, wenn die Kurve nicht unterbrochen wird, also wenn man sie zeichnen kann, ohne den Stift vom Blatt abzusetzen.

Stetigkeit ist das zentrale Konzept in der Analysis. Über stetige Funktionen kann man enorm viele Aussagen treffen. Was bedeutet aber Stetigkeit eigentlich? Ganz einfach und anschaulich gesprochen: eine Funktion ist stetig, wenn sie mit einem Stift ohne abzusetzen zu zeichnen ist. Die Funktion hat also keine Sprünge oder so etwas. Hier seht.